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Mrz 202013
 

Dieses Video wird Dir erklären, was der Winkelsummensatz ist und warum ein Dreieck genau 180° beinhaltet. Mit diesem Satz lassen sich in der Planimetrie viele Rechnungen leichter durchführen, er ist also sehr wichtig. Um die Erklärung zu verstehen, solltest Du über spezielle Winkelpaare Bescheid wissen.

Der Winkelsummensatz ist eine mathematische Aussage, die besagt, dass die Summe der drei Winkel innerhalb eines Dreiecks zusammengerechnet immer 180° ergeben; unabhängig von der Art des Dreiecks. Der Beweis für diesen Satz lässt sich am einfachsten mit einen geometrischen Beweis führen, also anhand einer Skizze. Dafür zeichnest Du zunächst ein beliebiges Dreieck und benennst die drei Winkel. Der erste Schritt zum Beweis liegt darin, zwei Seiten des Dreiecks über deren Schnittpunkt hinaus zu verlängern. Danach ziehst Du durch diesen Schnittpunkt eine Parallele zur dritten Seite des Dreiecks. Nun benötigst Du Wissen über spezielle Winkelpaare. An der Skizze lässt sich nun nämlich erkennen, dass die zwei unteren Winkel im Dreieck am Schnittpunkt der zwei verlängerten Seiten jeweils einen Stufenwinkel haben. Diese bezeichnest Du nun ebenfalls. Der dritte Winkel im Dreieck hat zwar keinen Stufenwinkel, dafür aber einen Scheitelwinkel am Schnittpunkt der zwei verlängerten Seiten. Diesen kannst Du nun ebenfalls kennzeichnen. Nun erkennst Du leicht, dass die drei neu gekennzeichneten Winkel, die jeweils einen Wert mit einem Winkel innerhalb des Dreiecks gemeinsam haben, zusammen einen Halbkreis ergeben. Wie Du weißt, beinhaltet ein vollständiger Kreis insgesamt genau 360°, woraus folgt, dass ein Halbkreis genau 180° beinhaltet. Daraus folgt also, dass die Summe der drei Winkel innerhalb im Dreieck genau 180° ergeben, womit der Winkelsummensatz bewiesen ist.

Übrigens lassen sich aus diesem Satz die Summer der Winkel in einem beliebigen Vieleck berechnen, da sich diese immer in kleinere Dreiecke unterteilen lassen und diese mit dem Winkelsummensatz berechnet werden können. Da ein Viereck immer aus zwei Dreiecken besteht, besitzt ein Viereck somit 360°.

Winkelsummensatz 11.1.2
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