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Mrz 202013
 

Das folgende Video bietet Dir  eine Übung zur Anwendung des Höhen-  und des Kathetensatzes. Es ist ein klassisches Beispiel dafür, wann diese Sätze anwendbar sind und wie man sie richtig anwendet.

Zunächst die Beschreibung des Beispiels:

Das Dach eines alten Hauses muss saniert werden. Aus Bauplänen ist  Dir  bekannt, dass die beiden Dachflächen einen rechten Winkel einschließen. Außerdem befindet sich ein Stützbalken senkrecht auf  dem  Boden  stehend,  der  vom  höchsten  Punkt  des  Daches  zum  Boden  verläuft.  Die  einzigen Werte, die Du herausfinden kannst, sind die Längen der Strecken  auf dem Boden vom Stützbalken zum linken und zum  rechten Dachende. Die Strecke von links bis zum Stützbalken beträgt 2,15m und die  Strecke  vom  Stützbalken  nach  rechts  beträgt  6,35m.  Der  ganze  Dachboden  beträgt  also  eine Länge  von  8,5m.  Alles  andere  ist  nicht  messbar.  Du  musst  für  die  Sanierungsarbeiten  sowohl  die Höhe als auch die Länge der Dachseiten rausfinden.

Mit Hilfe des Höhen- und Kathetensatzes lässt sich diese Aufgabe leicht lösen. Mit einer Skizze kannst Du  dir  klar machen, dass das Dach aufgezeichnet einfach ein rechtwinkliges Dreieck bildet und die Dachseiten die zwei Katheten darstellen und der Dachboden die Hypotenuse ist. Der Stützbalken ist die Höhe des Dreiecks, die senkrecht auf der Hypotenuse steht. Die zwei Hypotenusenabschnitte sind die  zwei gemessenen Werte.

Mit dem Höhensatz lässt sich nun die Höhe berechnen. Dieser Satz  besagt,  dass  die  Höhe  des  Dreiecks  zum  Quadrat  gleich  dem  Produkt  der  zwei Hypotenusenabschnitte  ist. Ziehst Du also aus dem Produkt von 2,15m*6,35m die Wurzel, so  erhältstDu die Höhe des Dreiecks. Diese beträgt gerundet ca. 3,69m. Mit dem Kathetensatz lassen sich nun die Dachseiten bzw. die Katheten des  Dreiecks  berechnen. Dieser Satz besagt,  dass die Kathete zum Quadrat gleich dem Produkt des zugehörigen Hypotenusenabschnitts und der Hypotenuse des Dreiecks ist.

Daraus folgt also, dass  für die rechte Dachseite gilt: \(a=\sqrt{6,35m*8,5m}≈ 7,35m\)

Für die linke Dachseite ergibt sich dann: \(b=\sqrt{2,15m*8,5m}≈4,27m\)

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