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Mrz 202013
 

Das folgende Video handelt von der Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Damit lässt sich anhand der Seitenlängen eines Dreiecks Aussagen über die Winkel und die Art des Dreiecks treffen, ohne es genauer zu untersuchen oder zu messen. Dafür solltest Du den Satz des Pythagoras verstanden haben und anwenden können.

Zur Wiederholung: der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem (und nur in einem) rechtwinkligen Dreieck gilt, dass die Summe der Quadrate der Katheten (die Seiten am rechten Winkel anliegend) gleich dem Quadrat der Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) ist. Vorher musstest Du wissen, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, bevor Du diesen Satz anwenden konntest. Nun wird das Ganze aber umgekehrt. Da dieser Satz nämlich nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt, kann man ihn auch dazu benutzen, um zu erfahren, ob es einen rechten Winkel im Dreieck gibt. Dazu prüft man einfach nach, ob der Satz des Pythagoras zutrifft. Wenn dieser nämlich gilt, so weißt Du, dass es sich dabei um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und da dieser sich immer gegenüber der längsten Seite des Dreiecks befindet, kannst Du ihn auch gleich eintragen, ohne vorher nachmessen zu müssen. Dafür müssen nur die Seitenlängen des Dreiecks bekannt sein.

Allerdings kann man noch mehr mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras erfahren. Wenn Du feststellen solltest, dass die Summer der Quadrate der Katheten größer als das Quadrat der Hypotenuse ist, dann weißt Du, dass die Hypotenuse in diesem Dreieck kleiner ausfällt als in einem rechtwinkligen Dreieck. Daraus folgt also, dass der gegenüberliegende Winkel kleiner als 90° sein muss und es sich deswegen um ein spitzwinkliges Dreieck handelt. Der andere Fall ist, dass Du feststellst, dass die Hypotenuse größer ausfällt als in einem rechtwinkligen Dreieck. Daraus folgt dann das Gegenteil: der Winkel ist größer als 90° groß und somit handelt es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck.

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