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Mrz 202013
 

In diesem Video werden Dir die drei Grundfunktionen der Trigonometrie erklärt: der Sinus, der Kosinus und der Tangens. Hier lernst Du, wann und wie Du diese anwenden kannst und wie man mit ihnen Verhältnisse und Seitenlängen berechnen kann.

Zunächst einmal ist festzuhalten, dass alle drei trigonometrische Funktionen nur in einem rechtwinkligen Dreieck gelten.  Also wende diese nur an, wenn auch der Satz des Pythagoras gelten würde! Nun siehe Dir ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck an. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel nennt man Hypotenuse, während die zwei kürzeren Seiten Katheten genannt werden. Nun bezeichnet man im Allgemeinen die Punkte eines Dreiecks entgegen dem Uhrzeigersinn mit A, B und C und die gegenüberliegenden Seiten der Punkte mit dem gleichen Buchstaben, nur klein, also a, b und c. Die Winkel werden im Allgemeinen mit α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma) bezeichnet, wobei Alpha am Punkt A, Beta am Punkt B und Gamma am Punkt C anliegt. Wenn Du nun einen Winkel, der kein rechter Winkel ist, betrachtest, so stellst Du fest, dass sowohl die gegenüberliegende Seite, als auch eine der beiden anliegenden Seiten die Katheten sind. Für diesen Winkel heißt die gegenüberliegende Seite deshalb Gegenkathete und die anliegende Seite Ankathete. Die dritte Seite im Dreieck ist immer noch die Hypotenuse und liegt gegenüber dem rechten Winkel.

Nun aber zu den trigonometrischen Funktionen. Alle drei Funktionen beschreiben ein Verhältnis von zwei der drei Seitenlängen im Dreieck. Der Sinus beschreibt das Verhältnis der Gegenkathete eines Winkels zur Hypotenuse. Das heißt nun, der Sinus eines Winkels Alpha, also sin α, ist gleich dem Bruch Gegenkathete durch Hypotenuse. Für den Kosinus gilt fast das Gleiche, nur dass es sich dabei um das Seitenverhältnis Ankathete zur Hypotenuse handelt. Der Kosinus von Alpha wird geschrieben: cos α. Der Tangens beschreibt nun das dritte Verhältnis: die Gegenkathete zur Ankathete. Der Tangens wird so abgekürzt: tan α.

Zusammenfassend ist also zu sagen: die trigonometrischen Funktionen gelten nur in einem rechtwinkligen Dreieck und beschreiben Seitenlängenverhältnisse. Betrachtet man einen Winkel im Dreieck, so gilt:

\(sin α=\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}\) \(cos α=\frac{Ankathete}{Hypothenuse}\) \(tan α=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\)
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck 11.7.1
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