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Mrz 202013
 

In diesem Video soll es um den sogenannten Sinussatz gehen, also, wie Du diesen herleitest, beweist und anwenden kannst. Hierfür benötigst Du das Wissen, wie man Seiten und Winkel in
einem rechtwinkligen Dreieck berechnet. Schaue Dir also vorher die Videos zum Satz des Pythagoras und zu den anderen Sätzen, die in rechtwinkligen Dreiecken gelten, an, um das Video am besten zu verstehen.

Der Grund, warum der Sinussatz oft Anwendung findet, ist, dass er nicht nur in einem rechtwinkligen, sondern in einem beliebigen Dreieck benutzt werden kann. Dass heißt, dass der
Sinussatz auf alle Dreiecke, die es gibt, angewendet werden kann, was ziemlich viel Rechenarbeit ersparen kann, wie Du nach dem Herleiten und Beweisen des Sinussatzes selbst erkennen wirst.

Um sich den Sinussatz herzuleiten, der in einem beliebigen Dreieck gelten soll, brauchst Du natürlich zuerst ein beliebiges Dreieck, dass Du dir anschauen kannst. Skizziere Dir also ein Dreieck mit irgendwelchen Winkel und Seitenlängen. Da wir keine mathematischen Aussagen bzw. Sätze über beliebige Dreiecke haben, musst Du versuchen, den Fall auf etwas zurück zu führen, dass Dir bereits bekannt ist. Du kannst Seiten und Winkel innerhalb von rechtwinkligen Dreiecken berechnen und Du kennst genug Sätze, die Du anwenden kannst. Deshalb wäre der vernünftigste Versuch, das beliebige Dreieck auf ein rechtwinkliges Dreieck zurück zu führen; und das ist machbar. Zeichne dafür einfach die Höhe des Dreiecks ein. Da diese auf einer der drei Seiten senkrecht steht, teilst Du mit der Höhe das beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige, kleinere Dreiecke. Innerhalb dieser kannst Du nun den Sinus anwenden. Benutze den Sinus an den Winkeln, die die Höhe als Gegenkathete haben. Nun hast Du zwei Gleichungen:

\(sin ( α) =\frac{h}{b}\) ,  \(sin ( β) =\frac{h}{a}\) ,

wobei a, b die zwei Hypotenusen der rechtwinkligen Dreiecke sind und h die Höhe darstellt. Nun siehst Du, dass in beiden Gleichungen die Variable „h“ vorkommt. Da diese also denselben Wert haben müssen, kann man diese zwei Gleichungen zusammenfügen bzw. gleichsetzen. Dazu löst Du beide Gleichungen nach „h“ auf, indem Du die einzelnen Gleichungen mit dem jeweiligen Nenner multiplizierst, also die erste mit „b“ und die zweite mit „a“. Da die beiden „h“s gleich sind, müssen also auch die zwei anderen Werte gleich sein und somit gilt dann:

\(sin ( α)∗b =sin ( β) ∗a\) , was nach umstellen dann zum Sinussatz wird:

\(\Large \frac{( sin ( α))}{a} = \frac{( sin ( β) )}{b}\).

Beweis Sinussatz 11.7.5
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  Eine Antwort zu “Beweis Sinussatz 11.7.5”

  1. Die Herleitung des Sinussatzes finde ich sehr gelungen. Sicher geht das auf dieser Seite so weiter.

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