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Mrz 202013
 

Dieses Video hier wird Dir erklären, was der sogenannte Kosinussatz ist, was er aussagt, wie man ihn herleitet, beweist und anwendet. Es ist notwendig, dass Du über Berechnungen innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks Bescheid weißt und die dazugehörigen Sätze kennst, damit Du die Schritte in diesem Video auch wirklich genau verstehst.

Zunächst sei gesagt, dass der Kosinussatz, wie der Sinussatz auch. in einem beliebigen Dreieck anwendbar ist, sprich, man muss sich nicht auf rechtwinklige Dreiecke beschränken, sondern jedes Dreieck kann damit berechnet werden. Da Du allerdings, außer vielleicht den Sinussatz, vermutlich keine Sätze kennst, die man innerhalb nicht-rechtwinkliger Dreiecke anwenden kann, muss man zur Herleitung des Kosinussatzes den Fall eines beliebigen Dreiecks auf rechtwinklige Dreiecke zurückführen. Dies geht am einfachsten, indem man einfach die Höhe des Dreiecks einzeichnet, welche, da sie senkrecht auf einer der drei Seiten des Dreiecks steht, das beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke und die Seite, auf der die Höhe steht, in zwei Teilseiten teilt.. Somit ist die Grundlage zur Herleitung des Kosinussatzes geschaffen.

Innerhalb der beiden rechtwinkligen Dreiecke gilt offensichtlich der Satz des Pythagoras, wobei in den rechtwinkligen Dreiecken die Hypotenuse eine komplette Seite des beliebigen Dreiecks ist und die Katheten die Höhe des beliebigen Dreiecks und eine der beiden Teilseiten sind. Somit gilt also:

\(a^{2} = p^{2} +h^{2} \) und  \(b^{2} = q^{2} + h^{2} \),

wobei „a“ und „b“ die zwei vollständigen Seiten, „h“ die Höhe und „p“ und „q“ die Teilseiten der dritten Seite des beliebigen Dreiecks sind. Dabei fällt nun auf, dass die Höhe zum Quadrat in beiden Gleichungen vorkommt. Das heißt, man kann eine Gleichung nach „h²“ auflösen und dann in die andere Gleichung einsetzen. Daraus folgt dann, wenn man die zweite Gleichung nach „h²“ auflöst:

\(a^{2} = p^{2} + b^{2} − q^{2}\) .

Nun weißt Du aber, dass \(q + p = c\), also die Teilseiten zusammengerechnet die dritte Seite des beliebigen Dreiecks ergibt. Löst man dies nach p auf, so ergibt sich:

\(p = c – q\) , woraus folgt, dass  \(p^{2} =( c −q ) ^{2} =c^{2} −2cq + q^{2}\) gilt.

Setzt man dies nun in die obige Gleichung ein, so erhältst Du:

\(a^{2} =c^{2} − 2cq + q^{2} +b^{2} −q^{2} \).

Sofort fällt auf, dass sich das „q²“ in der Gleichung kürzt. Jetzt stört nur noch dieses einzelne „q“, welches man mit Hilfe des Kosinus wegschaffen kann. Mit dem Kosinus ergibt sich nämlich Folgendes:

\(cos ( α )=\frac{q}{b} =>  q =cos ( α) ∗b\) , woraus folgt: \( a^{2} =b^{2} + c^{2} − 2bc ∗cos (α ) \).

Das ist der sogenannte Kosinussatz und wenn man die Höhe des beliebigen Dreiecks auf die beiden anderen Seiten zieht, so ergeben sich für die anderen beiden Seiten des Dreiecks äquivalente Aussagen.

Beweis Kosinussatz 11.7.8
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